Question

某电视台举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训。下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：

赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”。
1、从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率；
2、电视台决定，复赛票数不低于85票的选手将成为电视台的“签约歌手”，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有关？

	甲班	乙班	合计
签约歌手
末签约歌手
合计

下面临界值表仅供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式：K²= ,其中

Answer 1

（Ⅰ）.
（Ⅱ）因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有关.

解析试题分析：（Ⅰ）进入决赛的选手共6名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名.    2分
为拥有“优先挑战权”的选手编号为1，2，3，其余3人编号为A，B，C.
被选中3人的编号所有可能的情况共20种，列举如下：
123，12A，12B，12C，13A，13B，13C，1AB，1AC，1BC，
23A，23B，23C，2AB，2AC，2BC，
3AB，3AC，3BC，
ABC，              4分
其中拥有“优先挑战权”的选手恰有1名的情况共9种，如下：
1AB，1AC，1BC，2AB，2AC，2BC，3AB，3AC，3BC，
∴所求概率为.              6分
（Ⅱ）列联表：

	甲班	乙班	合计
签约歌手	3	10	13
未签约歌手	17	10	27
合计	20	20	40

9分

因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有关. 12分
考点：本题主要考查茎叶图，古典概型概率的计算，“卡方检验”。
点评：典型题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型。古典概型概率的计算问题，关键是明确基本事件数，往往借助于“树图法”，做到不重不漏。“卡方检验”问题，往往直接套用公式加以计算，对照“定值”比较，作出判断。