Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F₁（?2，0），左准线l₁与x轴交于N（?3，0），过点N 作倾斜角为30°的直线l 交椭圆于两个不同的点A，B．
（Ⅰ）求直线l 及椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：点F₁在以线段AB为直径的圆上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意

c=2 a2 c =3 a2=b2+c2

，能够导出椭圆C的方程和直线l的方程．
（Ⅱ）椭圆C的方程即为x²+3y²-6=0，由

y= 3 3 (x+3) x2+3y2-6=0

得2x²+6x+3=0．再由韦达定理能够导出点F₁在以线段AB为直径的圆上．

解答：解：（Ⅰ）由题意，

c=2 a2 c =3 a2=b2+c2

∴

a= 6 b= 2 .

则椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
直线l的方程为y=

3

3

(x+3)．
（Ⅱ）椭圆C的方程即为x²+3y²-6=0，
由

y= 3 3 (x+3) x2+3y2-6=0

得2x²+6x+3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x1+x2=-3 x1x2= 3 2 .

∵

F1A

=(x1+2，y1)，

F1B

=(x2+2，y2)，
∴

F1A

•

F1B

=（x₁+2）•（x₂+2）+y₁y₂．
∵y1=

3

3

(x1+3)，y2=

3

3

(x2+3)，
∴

F1A

•

F1B

=(x1+2)•(x2+2)+

1

3

(x1+3)•(x2+3)
=

1

3

[4x₁x₂+9（x₁+x₂）+21]=

1

3

(6-27+21)=0．
∴

F1A

⊥

F1B

．∴点F₁在以线段AB为直径的圆上．

点评：本题考查直线方程和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，仔细挖掘题设中的隐含条件，注意合理地进行等价转化．