题目内容
【题目】数列{an}中，an+2﹣2an+1+an=1（n∈N*），a1=1，a2=3．．
（1）求证：{an+1﹣an}是等差数列；
（2）求数列{ 
}的前n项和Sn ．
【答案】
（1）证明：令cn=an+1﹣an，
则cn+1﹣cn=（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=an+2﹣2an+1+an=1（常数），
c1=a2﹣a1，=2，
故{an+1﹣an}是以2为首项，1为公差的等差数列
（2）解：由（1）知cn=n+1，即an+1﹣an=n+1，
于是an=（an﹣an﹣1）﹣（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=
=n+（n﹣1）+…+2+1= 
，
故 
= 
=2（ 
﹣ 
）．
∴Sn=2（1﹣ 
）+2（ ﹣ 
）+2（ ﹣）+…+2（ ﹣ ）
=2（1﹣ ）
= 
【解析】（1）令cn=an+1﹣an ， 通过cn+1﹣cn=1，说明{an+1﹣an}是以2为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）知cn=n+1，求出an ， 化简 = =2（ ﹣ ）．利用裂项求和求解即可．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
才能正确解答此题．
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