题目内容
【题目】如图,已知多面体中,
平面
,
,三角形
是等边三角形,且
,
为
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)取的中点
,连接
,证得四边形
为平行四边形,再利用线面平行的判定定理证明即可;
(Ⅱ)(解法一在)平面内,过
作
于点
,连接
,证得
为
和平面
所成的角,再解平面三角形即可求出答案.
解法二:以为坐标原点,
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,利用空间向量求出线面角.
(1)证明:取的中点
,连接
,
为
的中点,
且
,
,
,
又,
四边形
为平行四边形,
则,
平面
平面
,
平面
;
(Ⅱ)解法一:在平面内,过
作
于点
,连接
,(图象见第一问)
平面
C平面
,
,
,
为
的中点,
,
又平面
,
平面
,
平面
,
由(Ⅰ)知平面
,
又平面
,平面
平面
,
平面
平面
平面
,
平面
,
为
和平面
所成的角,
设,
则,
,
中,
,
直线
和平面
所成角的正弦值为
.
解法二:以为坐标原点,
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设,则
,
,
,
设为平面
的法向量,
则,即
,令
,得
,
又,
设和平面
所成的角为
,
则,
直线
和平面
所成角的正弦值为
.
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