题目内容

【题目】已知函数,其中.

1)讨论函数的单调性;

2)若,记函数的两个极值点为(其中),求的最大值.

【答案】(1)当时,上单调递增;当时,函数上单调递增,在上单调递减;

(2).

【解析】

1)求出导函数,由得增区间,由得减区间,注意题中函数定义域是,因此对二次三项式分类情况为第一类:,第二类

2)与极值点有关的问题,不是直接代入极值点,而是用表示极值点,由是方程的解,得..不妨设,引入变量,则就转化为的函数,由求得的范围,由导数知识可得所求最大值.

1.

,则.

①当,即时,得恒成立,

上单调递增.

②当,即时,

,得

,得.

∴函数上单调递增,

上单调递减.

综上所述,当时,上单调递增;

时,函数上单调递增,

上单调递减.

2)由(1)得,当时,有两极值点(其中.

的两根,

.

.

.

,得

,解得.

上单调递减,

.

的最大值为.

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