Question

9．对于数列{a_n}，若满足${a_1}，\frac{a_2}{a_1}，\frac{a_3}{a_2}，…，\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}，…$是首项为1，公比为2的等比数列，则a₉=2³⁶．

Answer 1

分析 满足${a_1}，\frac{a_2}{a_1}，\frac{a_3}{a_2}，…，\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}，…$是首项为1，公比为2的等比数列，可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2^n-1，利用a_n=${a}_{1}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$$•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，即可得出．

解答 解：∵满足${a_1}，\frac{a_2}{a_1}，\frac{a_3}{a_2}，…，\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}，…$是首项为1，公比为2的等比数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2^n-1，
∴a_n=${a}_{1}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$$•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=1×2×2²×…×2^n-1
=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
∴a₉=${2}^{\frac{9×8}{2}}$=2³⁶．
故答案为：2³⁶．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．