Question

14．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且a²+c²=b²+6c，bsinA=4．
（1）求边长a；
（2）若△ABC的面积S=10，求cosC的值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可求得acosB=3，又bsinA=4，从而可求$\frac{acosB}{bsinA}=\frac{sinAcosB}{sinBsinA}=\frac{cosB}{sinB}=\frac{3}{4}$，结合同角三角函数关系式即可求得sinB，cosB的值，从而可求a的值．
（2）由三角形面积公式可求c，由余弦定理可求b，即可求得cosC的值．

解答 解：（1）∵$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{6c}{2ac}=\frac{3}{a}$，
∴acosB=3（2分）
又bsinA=4，
∴$\frac{acosB}{bsinA}=\frac{sinAcosB}{sinBsinA}=\frac{cosB}{sinB}=\frac{3}{4}$，
∴$sinB=\frac{4}{5}，cosB=\frac{3}{5}$，
∴a=5（6分）
（2）$S=10=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×5c×\frac{4}{5}$，
∴c=5（8分）
b²=a²+c²-2accosB=20，
∴$b=2\sqrt{5}$（10分）
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数关系式的应用，考查了计算能力，属于中档题．