题目内容
探究函数f(x)=x+
,x∈(0,+∞)的最小值,并确定取得最小值时x的值.列表如表:
(1)根据上表判断函数f(x)=x+
(x>0)在区间(0,2)上的单调性并给出证明;
(2)函数f(x)=x+
(x>0)在区间上(2,+∞)单调性如何?(不需证明)求出函数f(x)=x+
,x∈(0,+∞)的最小值及相应x的值.
4 |
x |
x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 4.8 | 7.57 | … |
4 |
x |
(2)函数f(x)=x+
4 |
x |
4 |
x |
分析:(1)当0<x<2时,利用f′(x)<0,可得函数在区间(0,2)上是减函数.
(2)当x>2时,求得 f′(x)>0,可得函数在区间(2,+∞)上是增函数.再根据f(x)在区间(0,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数,可得当x=2时,函数取得最小值.
(2)当x>2时,求得 f′(x)>0,可得函数在区间(2,+∞)上是增函数.再根据f(x)在区间(0,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数,可得当x=2时,函数取得最小值.
解答:解:(1)根据上表判断函数f(x)=x+
(x>0)在区间(0,2)上是减函数.
证明:当0<x<2时,
∵f′(x)=1+
=1-
<0,即 f′(x)<0,
∴函数f(x)=x+
(x>0)在区间(0,2)上是减函数.
(2)当x>2时,
∵f′(x)=1+
=1-
>0,即 f′(x)>0,
∴函数f(x)=x+
(x>0)在区间(2,+∞)上是增函数.
综上可得,f(x)在区间(0,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数,
故当x=2时,函数取得最小值为4.
4 |
x |
证明:当0<x<2时,
∵f′(x)=1+
0-4 |
x2 |
4 |
x2 |
∴函数f(x)=x+
4 |
x |
(2)当x>2时,
∵f′(x)=1+
0-4 |
x2 |
4 |
x2 |
∴函数f(x)=x+
4 |
x |
综上可得,f(x)在区间(0,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数,
故当x=2时,函数取得最小值为4.
点评:本题主要考查函数的单调性的判断和证明,导数与函数的单调性的关系,属于基础题.
练习册系列答案
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探究函数f(x)=x+
,x∈(0,+∞)的最小值,并确定取得最小值时x的值.列表如下:
请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.
(1)函数f(x)=x+
(x>0)在区间(0,2)上递减,函数f(x)=x+
(x>0)在区间 上递增;
(2)函数f(x)=x+
(x>0),当x= 时,y最小= ;
(3)函数f(x)=x+
(x<0)时,有最值吗?是最大值还是最小值?此时x为何值?(直接回答结果,不需证明)
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x |
x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
(1)函数f(x)=x+
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x |
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x |
(2)函数f(x)=x+
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x |
(3)函数f(x)=x+
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x |