题目内容

探究函数f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)
的最小值,并确定取得最小值时x的值.列表如表:
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 4.8 7.57
(1)根据上表判断函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
在区间(0,2)上的单调性并给出证明;
(2)函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
在区间上(2,+∞)单调性如何?(不需证明)求出函数f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)
的最小值及相应x的值.
分析:(1)当0<x<2时,利用f′(x)<0,可得函数在区间(0,2)上是减函数.
(2)当x>2时,求得 f′(x)>0,可得函数在区间(2,+∞)上是增函数.再根据f(x)在区间(0,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数,可得当x=2时,函数取得最小值.
解答:解:(1)根据上表判断函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
在区间(0,2)上是减函数.
证明:当0<x<2时,
∵f′(x)=1+
0-4
x2
=1-
4
x2
<0,即 f′(x)<0,
∴函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
在区间(0,2)上是减函数.
(2)当x>2时,
∵f′(x)=1+
0-4
x2
=1-
4
x2
>0,即 f′(x)>0,
∴函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
在区间(2,+∞)上是增函数.
综上可得,f(x)在区间(0,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数,
故当x=2时,函数取得最小值为4.
点评:本题主要考查函数的单调性的判断和证明,导数与函数的单调性的关系,属于基础题.
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