题目内容
探究函数f(x)=x+
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如表：
（1）根据上表判断函数f(x)=x+
(x＞0)在区间（0，2）上的单调性并给出证明；
（2）函数f(x)=x+
(x＞0)在区间上（2，+∞）单调性如何？（不需证明）求出函数f(x)=x+
，x∈(0，+∞)的最小值及相应x的值．
| 4 |
| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 4.8 | 7.57 | … |
| 4 |
| x |
（2）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
分析：（1）当0＜x＜2时，利用f′（x）＜0，可得函数在区间（0，2）上是减函数．
（2）当x＞2时，求得 f′（x）＞0，可得函数在区间（2，+∞）上是增函数．再根据f（x）在区间（0，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数，可得当x=2时，函数取得最小值．
（2）当x＞2时，求得 f′（x）＞0，可得函数在区间（2，+∞）上是增函数．再根据f（x）在区间（0，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数，可得当x=2时，函数取得最小值．
解答：解：（1）根据上表判断函数f(x)=x+
(x＞0)在区间（0，2）上是减函数．
证明：当0＜x＜2时，
∵f′（x）=1+
=1-
＜0，即 f′（x）＜0，
∴函数f(x)=x+
(x＞0)在区间（0，2）上是减函数．
（2）当x＞2时，
∵f′（x）=1+
=1-
＞0，即 f′（x）＞0，
∴函数f(x)=x+
(x＞0)在区间（2，+∞）上是增函数．
综上可得，f（x）在区间（0，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数，
故当x=2时，函数取得最小值为4．
| 4 |
| x |
证明：当0＜x＜2时，
∵f′（x）=1+
| 0-4 |
| x2 |
| 4 |
| x2 |
∴函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
（2）当x＞2时，
∵f′（x）=1+
| 0-4 |
| x2 |
| 4 |
| x2 |
∴函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
综上可得，f（x）在区间（0，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数，
故当x=2时，函数取得最小值为4．
点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，导数与函数的单调性的关系，属于基础题．
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（1）函数f(x)=x+
(x＞0)在区间（0，2）上递减，函数f(x)=x+
(x＞0)在区间 上递增；
（2）函数f(x)=x+
(x＞0)，当x= 时，y最小= ；
（3）函数f(x)=x+
(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
| 4 |
| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
（1）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
（2）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
（3）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |