Question

已知f(x)=lnx-

a

x

．
（I）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；
（II）若f（x）在[1，e]（e是自然对数的底）上的最小值为

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的定义域，、导数f′（x），当a＞0时易判断导数符号，从而得其单调性；
（II）求出f（x）在[1，e]上的最小值，令其为

3

2

，解出即可，其最小值分情况进行讨论：当a≥0时据单调性易求最小值；当a＜0时，令f′（x）=0得x=

1

a

，再按照

1

a

在区间[1，2]外、内两种情况利用单调性即可求得最小值．

解答：解：由题意得x＞0，所以定义域为（0，+∞），且f′(x)=

1

x

+

a

x2

．
（I）显然，当a＞0时，f′（x）＞0恒成立，
所以f（x）在定义域上单调递增；
（II）当a＞0时，由（I），得f（x）在定义域上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值为f（1），即f（1）=

3

2

⇒-a=

3

2

⇒a=-

3

2

（与a＞0矛盾，舍）；
当a=0时，f（x）=lnx，显然在[1，e]上单调递增，最小值为0，不合题意；
当a＜0时，f′（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，
若x∈（0，-a），则f′（x）＜0，f（x）单调递减，若x=-a，则f′（x）=0，
若x∈（-a，+∞），则f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当-a≤1即-1≤a＜0时，f（x）_min=f（1）=-a=

3

2

，⇒a=-

3

2

（舍），
当1＜-a＜e即-e＜a＜-1时，f（x）_min=f（-a）=1+ln（-a）=

3

2

⇒a=-e

1

2

（满足题意），
当-a≥e即a≤-e时，f（x）_min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

，⇒a=-

e

2

（舍），
综上所述，a=-e

1

2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，属中档题．