Question

【题目】已知点P1（a1 ， b1），P2（a2 ， b2），…，Pn（an ， bn）（n∈N*）都在函数y=的图象上．
（Ⅰ）若数列{bn}是等差数列，求证数列{an}为等比数列；
（Ⅱ）若数列{an}的前n项和为Sn=1﹣2﹣n ， 过点Pn ， Pn+1的直线与两坐标轴所围成三角形面积为cn ， 求使cn≤t对n∈N*恒成立的实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）依题意可知bn=an ，
∵数列{bn}是等差数列，
∴2bn+1=bn+bn+2 ， 即2an+1=an+an+2=（anan+2）
∴a2n+1=anan+2
∴数列{an}为等比数列
（2）当n=1时，a1=，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（）n ， n=1也适合此式，
即数列{an}的通项公式是an=（）n ． 由bn=an ， 得
数列{bn}的通项公式是bn=n，
所以Pn（，n），Pn+1（，n+1）．
过这两点的直线方程是：=
可得与坐标轴的交点是An（，0），Bn（0，n+2），
cn=×|OAn|×|OBn|=，
由于cn﹣cn+1=﹣＞0，即数列{cn}的各项依次单调递减，所以t≥c1=，即存在最小的实数t=满足条件．
【解析】（1）把点Pn（an ， bn）代入函数式，根据数列{bn}是等差数列，可求得a2n+1=anan+1进而可证明数列an}为等比数列
（2）先看当n≥2时根据an=Sn﹣Sn﹣1求得数列{an}的通项公式，进而求得当n=1时也符合，求得数列{an}的通项公式代入bn=an求得bn ， 进而求得点Pn和Pn+1的坐标进而可得过这两点的直线方程，进而求得该直线与坐标轴的交点坐标，根据三角形的面积公式求得cn ， 进而可得cn﹣cn+1的表达式判断其大于0，推断出数列{cn}的各项依次单调递减，要使cn≤t对n∈N+恒成立，需要t大于或等于数列的最大值c1 ， 进而可推断存在最小的实数满足条件．
【考点精析】通过灵活运用等比关系的确定和不等式的证明，掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等即可以解答此题．