题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,证明
有极小值点
,且
;
(Ⅱ)证明.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)求得,分析出函数
在
上为增函数,结合零点存在定理可证得结论成立;
(Ⅱ)利用导数证明出,由此可得出结论.
(Ⅰ)当时,
,该函数的定义域为
,
.
所以函数在
为增函数,且
,
,
于是存在使
,且当
时,
;当
时,
.
所以,函数在
上单调递减,在
上单调递增.
所以函数
的极小值点,且
;
(Ⅱ)先证明不等式.
构造函数,
,则
,令
,得
.
当时,
,此时函数
单调递减;
当时,
,此时函数
单调递增.
所以,函数的最小值为
,
;
接下来证明不等式.
构造函数,其中
,则
,令
得
.
当时,
,此时函数
单调递减;
当时,
,此时函数
单调递增.
所以,函数的最小值为
,
.
所以,,
,即
,
因此,.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2020年初,新冠肺炎疫情袭击全国,某省由于人员流动性较大,成为湖北省外疫情最严重的省份之一,截至2月29日,该省已累计确诊1349例患者(无境外输入病例).
(1)为了解新冠肺炎的相关特征,研究人员从该省随机抽取100名确诊患者,统计他们的年龄数据,得下面的频数分布表:
年龄 | |||||||||
人数 | 2 | 6 | 12 | 18 | 22 | 22 | 12 | 4 | 2 |
由频数分布表可以大致认为,该省新冠肺炎患者的年龄服从正态分布img src="http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2020/05/25/11/70cd3e4c/SYS202005251112216152234742_ST/SYS202005251112216152234742_ST.011.png" width="80" height="22" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />,其中
近似为这100名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上(
)的患者比例;
(2)截至2月29日,该省新冠肺炎的密切接触者(均已接受检测)中确诊患者约占10%,以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率,每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者20人,为检测出所有患者,设计了如下方案:将这20名密切接触者随机地按(
且
是20的约数)个人一组平均分组,并将同组的
个人每人抽取的一半血液混合在一起化验,若发现新冠病毒,则对该组的
个人抽取的另一半血液逐一化验,记
个人中患者的人数为
,以化验次数的期望值为决策依据,试确定使得20人的化验总次数最少的
的值.
参考数据:若,则
,
,
,
,
,
.
【题目】某位同学进行寒假社会实践活动,为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究,他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温与该小卖部的这种饮料销量
(杯),得到如下数据:
日期 | 1月11日 | 1月12日 | 1月13日 | 1月14日 | 1月15日 |
平均气温 | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
销量 | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)若先从这五组数据中抽出2组,求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率;
(2)请根据所给五组数据,求出关于
的线性回归方程
;
(3)根据(1)中所得的线性回归方程,若天气预报1月16日的白天平均气温,请预测该奶茶店这种饮料的销量.
(参考公式:,
)