Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-（\frac{1}{3}）^{x}，x≤0}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-x+1，x＞0}\end{array}\right.$．
（1）请在直角坐标系中画出函数f（x）的图象，并写出该函数的单调区间；
（2）若方程f（x）-m=0恰有3个不同根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数的平移和二次函数的图象画出函数f（x）的图象；
（2）利用数学结合，方程问题转换为函数交点问题．

解答 解：（1）函数f（x）的图象如右图：

函数f（x）的单调减区间是（0，1）
单调增区间是（-∞，0）和（1，+∞）
（2）方程f（x）-m=0可变成m=f（x）
方程f（x）-m=0恰有3个不同根等价于函数y=m与函数f（x）的图象恰有三个不同公共点，由函数的图象知
m∈（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 考察了函数图象的画法和方程问题的转换，是数形结合的典型题型．