题目内容
（2012•天河区三模）已知函数f（x）=2sin（π-x）cosx+2sin2（
-x）-1
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[
，
]上的最大值和最小值．
| 3π |
| 2 |
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
分析：（I）利用二倍角三角函数公式和辅助角公式化简，得到f（x）=
sin(2x+
)．再由三角函数的周期公式和单调区间公式，即可得到f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（II）求出当x∈[
，
]时，2x+
∈[
，
]，结合正弦函数的图象与性质，即可得到函数f（x）在上的最大值和最小值．
| 2 |
| π |
| 4 |
（II）求出当x∈[
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 7π |
| 4 |
解答：解：（Ⅰ）由题意，得
f（x）=2sin（π-x）cosx+2sin2（
-x）-1
=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x，
∴f（x）=sin2x+cos2x=
sin(2x+
)．…..（3分）
可得f（x）的最小正周期T=
=π…..（5分）
又∵由-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ，k∈Z，解得-
+kπ≤x≤
+kπ，k∈Z
∴函数f（x）的单调递增区间：[-
+kπ，
+kπ]，k∈Z…..（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=
sin(2x+
)．
由
≤x≤
，得
≤2x+
≤
．…..（8分）
∴当2x+
=
，即x=
时，函数f（x）有最大值是1；…..（10分）
当2x+
=
，即x=
时，函数f（x）有最小值是-
．…..（11分）
综上所述，函数f（x）在区间[
，
]上的最大值是1，最小值是-
．…..（12分）
f（x）=2sin（π-x）cosx+2sin2（
| 3π |
| 2 |
=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x，
∴f（x）=sin2x+cos2x=
| 2 |
| π |
| 4 |
可得f（x）的最小正周期T=
| 2π |
| 2 |
又∵由-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
∴函数f（x）的单调递增区间：[-
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=
| 2 |
| π |
| 4 |
由
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 7π |
| 4 |
∴当2x+
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
当2x+
| π |
| 4 |
| 3π |
| 2 |
| 5π |
| 8 |
| 2 |
综上所述，函数f（x）在区间[
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 2 |
点评：本题给出三角函数表达式，求函数的周期与单调区间，并求闭区间上的最值．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
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