题目内容
（2012•天河区三模）已知函数f（x）=2sin（π-x）cosx+2sin
2（
-x）-1
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间
[，]上的最大值和最小值．
分析：（I）利用二倍角三角函数公式和辅助角公式化简，得到f（x）=
sin(2x+)．再由三角函数的周期公式和单调区间公式，即可得到f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（II）求出当x∈
[，]时，
2x+∈[
，]，结合正弦函数的图象与性质，即可得到函数f（x）在上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）由题意，得
f（x）=2sin（π-x）cosx+2sin
2（
-x）-1
=2sinxcosx+2cos
2x-1=sin2x+cos2x，
∴f（x）=sin2x+cos2x=
sin(2x+)．…..（3分）
可得f（x）的最小正周期
T==π…..（5分）
又∵由
-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得
-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数f（x）的单调递增区间：
[-+kπ，+kπ]，k∈Z…..（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=
sin(2x+)．
由
≤x≤，得
≤2x+≤．…..（8分）
∴当
2x+=，即
x=时，函数f（x）有最大值是1；…..（10分）
当
2x+=，即
x=时，函数f（x）有最小值是
-．…..（11分）
综上所述，函数f（x）在区间
[，]上的最大值是1，最小值是
-．…..（12分）
点评：本题给出三角函数表达式，求函数的周期与单调区间，并求闭区间上的最值．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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