题目内容
(2012•天河区三模)已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx+2sin
2(
-x)-1
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间
[,]上的最大值和最小值.
分析:(I)利用二倍角三角函数公式和辅助角公式化简,得到f(x)=
sin(2x+).再由三角函数的周期公式和单调区间公式,即可得到f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(II)求出当x∈
[,]时,
2x+∈[
,],结合正弦函数的图象与性质,即可得到函数f(x)在上的最大值和最小值.
解答:解:(Ⅰ)由题意,得
f(x)=2sin(π-x)cosx+2sin
2(
-x)-1
=2sinxcosx+2cos
2x-1=sin2x+cos2x,
∴f(x)=sin2x+cos2x=
sin(2x+).…..(3分)
可得f(x)的最小正周期
T==π…..(5分)
又∵由
-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得
-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z∴函数f(x)的单调递增区间:
[-+kπ,+kπ],k∈Z…..(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=
sin(2x+).
由
≤x≤,得
≤2x+≤.…..(8分)
∴当
2x+=,即
x=时,函数f(x)有最大值是1;…..(10分)
当
2x+=,即
x=时,函数f(x)有最小值是
-.…..(11分)
综上所述,函数f(x)在区间
[,]上的最大值是1,最小值是
-.…..(12分)
点评:本题给出三角函数表达式,求函数的周期与单调区间,并求闭区间上的最值.着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识,属于中档题.
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