Question

一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图所示，M、N分别为A₁B、B₁C₁的中点.

(1)求证：MN//平面ACC₁A₁；
(2)求证：MN^平面A₁BC.

Answer 1

(1)见解析；(2)见解析

试题分析：先由三视图还原几何体的直观图中线段长度，（1）利用直线与平面平行的判定定理，在平面内找一直线AC₁，由三角形中位线证明MN//AC₁，用直线与平面平行的判定定理得到结论；（2）通过证明平面内两相交直线同时垂直MN，由直线与平面垂直的判定定理得证.
试题解析：证明：由意可得：这个几何体是直三棱柱，
且AC^BC，AC=BC=CC₁     2分

（1）由直三棱柱的性质可得：AA₁^A₁B₁
四边形ABCD为矩形，则M为AB₁的中点，N为B₁C₁
的中点，在DAB₁C中，由中位线性质可得：
MN//AC₁，又AC₁Ì平面ACC₁A₁，MNË平面ACC₁A₁
\ MN//平面ACC₁A₁           6分
（2）因为：CC₁^平面ABC，BCÌ平面ABC，\ CC₁^ BC，
又BC^AC，ACÇCC₁=C，所以，BC^平面ACC₁A₁，AC₁Ì平面ACC₁A₁
\ BC^AC₁，在正方形ACC₁A₁中，AC₁^A₁C，BCÇA₁C=C，\ AC₁^平面A₁BC，
又AC₁//MN，\MN^平面A₁BC             10分