Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G，
（Ⅰ）求A₁B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A₁到平面AED的距离。

Answer 1

解：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在ABD的射影， 即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角， 设F为AB的中点，连结EF、FC， ∵D，E分别是CC1与A1B的中点， 又DC⊥平面ABC， ∴CDEF为矩形，连接DE，G是△ADB的重心， ∴GE=DF， 在直角三角形EFD中，， ∵EF=1，∴， 于是， ∵， ∴， ∴， ∴A1B与平面ABD所成角是。 （Ⅱ）连结A1D，有， ， 又EF∩AB=F， ∴， 设A1到平面AED的距离为h，则， 又 ， ∴， 即A1到平面AED的距离。