题目内容
【题目】已知点H(﹣1,0),点P在y轴上,动点M满足PH⊥PM,且直线PM与x轴交于点Q,Q是线段PM的中点.
(1)求动点M的轨迹E的方程;
(2)若点F是曲线E的焦点,过F的两条直线l1 , l2关于x轴对称,且l1交曲线E于A、C两点,l2交曲线E于B、D两点,A、D在第一象限,若四边形ABCD的面积等于 ,求直线l1 , l2的方程.
【答案】
(1)解:设M(x,y),P(0,y1)(y1≠0),Q(x1,0),
=(﹣1,﹣y1), =(x1,﹣y1),
∵PH⊥PM,
∴﹣x1+y′2=0,即y12=x1,
又 ,则 ,可得:y2= (x≠0),
(2)解:由(1)抛物线的焦点F( ,0),则直线l1:x=my+ (m>0),
则 ,整理得y2﹣ y﹣ =0,
∴yA+yC= ,yAyC=﹣ ,
由题意,四边形ABCD是等腰梯形,
∴S=丨 丨=﹣2(yA﹣yC)2(yA+yC)=,
=﹣m[(yA+yC)2﹣4yAyC]=﹣ ,
由﹣ = ,
整理得:m3+m=10,(m+2)(m2﹣2m+5)=0,
则m2﹣2m+5>0,则m=﹣2,
∴直线l1,l2的方程y=﹣ x+ ,y= x﹣ .
【解析】(1)由题意可知: =(﹣1,﹣y1), =(x1 , ﹣y1),利用PH⊥PM,求动点M的轨迹E的方程;(2)由抛物线的焦点,设直线方程,代入椭圆方程,结合韦达定理,即可用m表示四边形ABCD的面积,求出m,即可求直线l1 , l2的方程.
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