题目内容

19.如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则x12+x22等于(  )
A.$\frac{16}{9}$B.$\frac{10}{9}$C.$\frac{8}{9}$D.$\frac{28}{9}$

分析 解:由图象知f(-1)=f(0)=f(2)=0,解出 b、c、d的值,由x1和x2是f′(x)=0的根,使用根与系数的关系得到x1+x2=$\frac{2}{3}$,x1•x2=-$\frac{2}{3}$,则由x12+x22 =(x1+x22-2x1•x2 代入可求得结果.

解答 解:∵f(x)=x3+bx2+cx+d,由图象知,-1+b-c+d=0,0+0+0+d=0,
8+4b+2c+d=0,∴d=0,b=-1,c=-2
∴f′(x)=3x2+2bx+c=3x2-2x-2. 由题意有x1和x2是函数f(x)的极值,
故有x1和x2是f′(x)=0的根,∴x1+x2=$\frac{2}{3}$,x1•x2=-$\frac{2}{3}$.
则x12+x22 =(x1+x22-2x1•x2=$\frac{4}{9}$+$\frac{4}{3}$=$\frac{16}{9}$
故选:A.

点评 本题考查一元二次方程根的分布,根与系数的关系,函数在某点取的极值的条件,以及求函数的导数,属中档题.

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