题目内容

【题目】已知f(x)= (ax﹣ax)(a>0且a≠1).
(1)判断f(x)的奇偶性.
(2)讨论f(x)的单调性.
(3)当x∈[﹣1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.

【答案】
(1)解:∵f(x)=

所以f(x)定义域为R,

又f(﹣x)= (ax﹣ax)=﹣ (ax﹣ax)=﹣f(x),

所以函数f(x)为奇函数


(2)解:任取x1<x2

则f(x2)﹣f(x1)= (ax2﹣ax1)(1+a﹣(x1+x2

∵x1<x2,且a>0且a≠1,1+a﹣(x1+x2>0

①当a>1时,a2﹣1>0,ax2﹣ax1>0,则有f(x2)﹣f(x1)>0,

②当0<a<1时,a2﹣1<0.,ax2﹣ax1<0,则有f(x2)﹣f(x1)>0,

所以f(x)为增函数


(3)解:当x∈[﹣1,1]时,f(x)≥b恒成立,

即b小于等于f(x)的最小值,

由(2)知当x=﹣1时,f(x)取得最小值,最小值为 )=﹣1,

∴b≤﹣1.

求b的取值范围(﹣∞,﹣1]


【解析】(1)由函数的解析式可求函数的定义域,先证奇偶性:代入可得f(﹣x)=﹣f(x),从而可得函数为奇函数;(2)再证单调性:利用定义任取x1<x2 , 利用作差比较f(x1)﹣f(x2)的正负,从而确当f(x1)与f(x2)的大小,进而判断函数的单调性;(3)对一切x∈[﹣1,1]恒成立,转化为b小于等于f(x)的最小值,利用(2)的结论求其最小值,从而建立不等关系解之即可.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用函数的奇偶性的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

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