题目内容
【题目】过椭圆: 上一点向轴作垂线,垂足为右焦点, 、分别为椭圆的左顶点和上顶点,且, .
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若动直线与椭圆交于、两点,且以为直径的圆恒过坐标原点.问是否存在一个定圆与动直线总相切.若存在,求出该定圆的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在
【解析】试题分析:(1)由得,解得, ,,结合,即可求椭圆的方程;(2)先求得直线的斜率不存在及斜率为零时圆的方程,由此可得两圆所过公共点为原点,当直线的斜率存在且不为零时,设直线的方程为代入椭圆方程消掉得的二次方程,设,由韦达定理、向量数量积可得的表达式,再根据线圆相切可得的关系式,代入上述表达式可求得,由此可得结论.
试题解析:(1)由题意得,所以, .由得,解得, ,
由,得, ,椭圆的方程为.
(2)假设存在这样的圆.设, .
由已知,以为直径的圆恒过原点,即,所以.
当直线垂直于轴时, , ,所以,又,解得,
不妨设, 或, ,即直线的方程为或,此时原点到直线的距离为.
当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,解消去得方程:
,因为直线与椭圆交于, 两点,所以方程的判别式
,即,且, .
由,得 ,
所以 ,整理得(满足).
所以原点到直线的距离.综上所述,原点到直线的距离为定值,即存在定圆总与直线相切.
【题目】“共享单车”的出现,为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度,从交通拥堵不严重的城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20个用户,得到了一个用户满意度评分的样本,并绘制出茎叶图如图:
(Ⅰ)根据茎叶图,比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小(不要求具体解答过程,给出结论即可);
(Ⅱ)若得分不低于80分,则认为该用户对此种交通方式“认可”,否则认为该用户对此种交通方式“不认同”,请根据此样本完成此列联表,并局此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关;
(Ⅲ)若此样本中的城市和城市各抽取1人,则在此2人中恰有一人认可的条件下,此人来自城市的概率是多少?
合计 | |||
认可 | |||
不认可 | |||
合计 |
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】“共享单车”的出现,为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度,从交通拥堵不严重的城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20个用户,得到了一个用户满意度评分的样本,并绘制出茎叶图(如图所示):
若得分不低于80分,则认为该用户对此种交通方式“认可”,否则认为该用户对此种交通方式“不认可”,请根据此样本完成此列联表,并据此样本分析是否有的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关:
合计 | |||
认可 | |||
不认可 | |||
合计 |
附:参考数据:(参考公式:)
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】已知点为椭圆的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线与椭圆有且仅有一个交点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与轴交于,过点的直线与椭圆交于两不同点, ,若,求实数的取值范围.
【题目】电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了名观众进行调查,其中女性有名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:
将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称“体育述”,已知“体育迷”中名女性.
(1)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性別有关?
非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
(2)将日均收看该体育项目不低于分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育述”中有名女性,若从“超级体育述”中任意选取人,求至少有名女性观众的概率.
附: ,