题目内容
【题目】已知函数,
,
.
(Ⅰ)当时,求曲线
在
处的切线方程;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设,若对于任意
,总存在
,使得
成立,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析; (Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)求解出点,再利用导数求出切线斜率,从而得切线方程;(Ⅱ)求导后,分别在
、
和
三个范围中讨论导函数的符号,即可得到原函数的单调性;(Ⅲ)将问题转化为
在
上的值域是
在
上的值域的子集,利用导数分别求解出两个函数的值域,从而构造不等式,解出取值范围.
(Ⅰ)当时,
,所以
所以
所以曲线在
处的切线方程为
,即
(Ⅱ)的定义域是
,
令,得
①当时,
,所以函数
的单调增区间是
②当时,
变化如下:
+ | - | - | + | |||
↗ | 极大值 | ↘ | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以函数的单调增区间是
,单调减区间是
③当时,
变化如下:
+ | - | - | + | |||
↗ | 极大值 | ↘ | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以函数的单调增区间是
,单调减区间是
(Ⅲ)因为,所以
当时,
所以在
上恒成立,所以
在
上单调递增
所以在
上的最小值是
,最大值是
即当时,
的取值范围为
由(Ⅱ)知,当时,
,
在
上单调递减,在
上单调递增
因为,所以不合题意
当时,
,
在
上单调递减
所以在
上的最大值为
,最小值为
所以当时,
的取值范围为
“对于任意,总存在
,使得
成立”等价于
即,解得
所以的取值范围为
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