Question

8．若n为正偶数，则7ⁿ+C${\;}_{n}^{1}$•7^n-1+C${\;}_{n}^{2}$•7^n-2+…+C${\;}_{n}^{n-1}$•7被9除所得的余数是0．

Answer 1

分析 7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7=（7+1）ⁿ-1=（9-1）ⁿ-1，又由n为正偶数，可得答案．

解答 解：∵7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7
=（7+1）ⁿ-1
=（9-1）ⁿ-1=9ⁿ+C${\;}_{n}^{1}$•9^n-1（-1）¹+C${\;}_{n}^{2}$•9^n-2（-1）²+…+C${\;}_{n}^{n-1}$•9•（-1）^n-1+C${\;}_{n}^{n}$•9⁰•（-1）ⁿ-1，
又由n为正偶数，
∴倒数第二项C${\;}_{n}^{n}$•9⁰•（-1）ⁿ=1，最后一项是-1，而从第一项到倒数第三项，每项都能被9整除，
∴7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7被9除所得的余数是0．
故答案为：0

点评 本题考查二项式定理的应用，难点在于对“7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7=（9-1）ⁿ-1”的转化与应用，属于难题．