Question

19．若数列{a_n}满足a_n=$\frac{1}{n！}$，求证：其前n项和S_n＜e-1．

Answer 1

分析 我们首先知道：e=$\sum_{i=0}^{+∞}\frac{1}{i!}$．设数列{a_n}满足a_n的前n项和为S_n，?n＞m，S_n=S_m+$\frac{1}{（m+1）!}$+$\frac{1}{（m+2）!}$+…+$\frac{1}{n!}$＜S_m+$\frac{1}{（m+1）!}$+$\frac{1}{（m+2）!}$$[1+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{（m+1）^{2}}+…+\frac{1}{（m+1）^{n-m}}]$，可得?n＞m，S_m＜S_n＜S_m+$\frac{1}{m•m!}$，取极限即可得出．

解答 证明：我们首先知道：e=$\sum_{i=0}^{+∞}\frac{1}{i!}$．设数列{a_n}满足a_n的前n项和为S_n，
下面给出证明：?n＞m，S_n=S_m+$\frac{1}{（m+1）!}$+$\frac{1}{（m+2）!}$+…+$\frac{1}{n!}$＜S_m+$\frac{1}{（m+1）!}$+$\frac{1}{（m+2）!}$$[1+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{（m+1）^{2}}+…+\frac{1}{（m+1）^{n-m}}]$
＜S_m+$\frac{1}{（m+1）!}•\frac{1}{1-\frac{1}{m+1}}$=S_m+$\frac{1}{m•m!}$，
∴?n＞m，S_m＜S_n＜S_m+$\frac{1}{m•m!}$，
当m→+∞时，：e=$\sum_{i=0}^{+∞}\frac{1}{i!}$．
∴其前n项和S_n＜e-1．

点评 本题考查了e的单调性、“放缩法”、数列极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．