题目内容
14．圆在x轴上的截距为a，b，在y轴上以截距为c（c≠0），求此圆的方程．分析 设圆心为E（$\frac{a+b}{2}$，n），由圆的性质可知EA2=EB2=EC2，展开等式可得n=$\frac{{c}^{2}+ab}{2c}$． 将上式代入EA，EB的表达式，可得半径的平方为 EA2=EB2的值，从而求得圆的标准方程．
解答 解：由题意可得，圆心的横坐标为$\frac{a+b}{2}$，
设圆与坐标轴相交三点分别为A（a，0）、B（b，0）、C（0，c），设圆心为E（$\frac{a+b}{2}$，n），
由圆的性质可知EA=EB=EC，则EA2=EB2=EC2，
则 ${（a-\frac{a+b}{2}）}^{2}$+（0-n）2=${（b-\frac{a+b}{2}）}^{2}$+（0-n）2=${（0-\frac{a+b}{2}）}^{2}$+（c-n）2，
展开等式可得n=$\frac{{c}^{2}+ab}{2c}$．
将上式代入EA，EB，EC表达式，可得 EA2=EB2=${（\frac{a-b}{2}）}^{2}$+$\frac{{c}^{2}+ab}{2c}$，
所以，此圆的方程为 ${（x-\frac{a+b}{2}）}^{2}$+${（y-\frac{{c}^{2}+ab}{2c}）}^{2}$=${（\frac{a-b}{2}）}^{2}$+$\frac{{c}^{2}+ab}{2c}$．
点评 本题主要考查圆的一般方程和圆的标准方程，直线和圆相交的性质，属于中档题．
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已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，且过点（1，$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$）．
如图，已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，两条准线之间的距离为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．B，C分别为椭圆M的上、下顶点，过点T（t，2）（t≠0）的直线TB，TC分别与椭圆M交于E，F两点．