题目内容
已知圆
及点C2（2，0），在圆C1上任取一点P，连接C2P，做线段C2P的中垂线交直线C1P于点M．（1）当点P在圆C1上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）设轨迹E与x轴交于A1，A2两点，在轨迹E上任取一点Q（x，y）（y≠0），直线QA1，QA2分别交y轴于D，E两点，求证：以线段DE为直径的圆C过两个定点，并求出定点坐标．
【答案】分析：（1）根据线段C2P的中垂线交直线C1P于点M，可得|MC2|=|MP|，利用|MP|=|MC1|+2，可知M点轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，从而可求点M的轨迹E的方程；
（2）确定直线QA1，QA2的方程，进而可求D，E两点的坐标，从而可得以线段DE为直径的圆C的方程，即可得到结论．
解答：（1）解：∵线段C2P的中垂线交直线C1P于点M，∴|MC2|=|MP|，
又∵|MP|=|MC1|+2，∴|MC1|-|MC2|=±2（2＜4）
∴M点轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，且2a=2，2c=4
∴点M的轨迹E的方程为
（2）证明：A1（-1，0），A2（1，0），
，∴
，∴
∴
∴以DE为直径的圆方程
∴y=0时，
∴以线段DE为直径的圆C过两个定点，定点为
点评：本题考查轨迹方程的求法，考查圆过定点，解题的关键是理解双曲线的定义，确定圆的方程．
（2）确定直线QA1，QA2的方程，进而可求D，E两点的坐标，从而可得以线段DE为直径的圆C的方程，即可得到结论．
解答：（1）解：∵线段C2P的中垂线交直线C1P于点M，∴|MC2|=|MP|，
又∵|MP|=|MC1|+2，∴|MC1|-|MC2|=±2（2＜4）
∴M点轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，且2a=2，2c=4
∴点M的轨迹E的方程为
（2）证明：A1（-1，0），A2（1，0），
，∴，∴∴
∴以DE为直径的圆方程
∴y=0时，
∴以线段DE为直径的圆C过两个定点，定点为
点评：本题考查轨迹方程的求法，考查圆过定点，解题的关键是理解双曲线的定义，确定圆的方程．
练习册系列答案
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及点C2（2，0），在圆
上任取一点P，连接C2P，做线段C2P的中垂线交直线
P于点M．
上运动时，求点M的轨迹E的方程；
，A2两点，在轨迹E上任取一点Q（
，
）（
≠0），直线Q
，QA2分别交y轴于D，E两点，求证：以线段DE为直径的圆C过两个定点，并求出定点坐标．
及点C2（2，0），在圆
上任取一点P，连接C2P，做线段C2P的中垂线交直线
P于点M．
上运动时，求点M的轨迹E的方程；
，A2两点，在轨迹E上任取一点Q（x0，y0）（y0≠0），直线Q
，QA2分别交y轴于D，E两点，求证：以线段DE为直径的圆C过两个定点，并求出定点坐标．
及点C2（2，0），在圆C1上任取一点P，连接C2P，做线段C2P的中垂线交直线C1P于点M．