题目内容
已知圆C1:(x+2)2+y2=4及点C2(2,0),在圆C1上任取一点P,连接C2P,做线段C2P的中垂线交直线C1P于点M.
(1)当点P在圆C1上运动时,求点M的轨迹E的方程;
(2)设轨迹E与x轴交于A1,A2两点,在轨迹E上任取一点Q(x0,y0)(y0≠0),直线QA1,QA2分别交y轴于D,E两点,求证:以线段DE为直径的圆C过两个定点,并求出定点坐标.
(1)当点P在圆C1上运动时,求点M的轨迹E的方程;
(2)设轨迹E与x轴交于A1,A2两点,在轨迹E上任取一点Q(x0,y0)(y0≠0),直线QA1,QA2分别交y轴于D,E两点,求证:以线段DE为直径的圆C过两个定点,并求出定点坐标.
分析:(1)根据线段C2P的中垂线交直线C1P于点M,可得|MC2|=|MP|,利用|MP|=|MC1|+2,可知M点轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线,从而可求点M的轨迹E的方程;
(2)确定直线QA1,QA2的方程,进而可求D,E两点的坐标,从而可得以线段DE为直径的圆C的方程,即可得到结论.
(2)确定直线QA1,QA2的方程,进而可求D,E两点的坐标,从而可得以线段DE为直径的圆C的方程,即可得到结论.
解答:(1)解:∵线段C2P的中垂线交直线C1P于点M,∴|MC2|=|MP|,
又∵|MP|=|MC1|+2,∴|MC1|-|MC2|=±2(2<4)
∴M点轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线,且2a=2,2c=4
∴点M的轨迹E的方程为x2-
=1
(2)证明:A1(-1,0),A2(1,0),QA1:y=
(x+1),∴D(0,
)
QA2:y=
(x-1),∴E(0,
)
∴DE中点(0,
)
∴以DE为直径的圆方程x2+(y+
)2=(
)2
∴y=0时,x2=
-
=3
∴以线段DE为直径的圆C过两个定点,定点为(±
,0)
又∵|MP|=|MC1|+2,∴|MC1|-|MC2|=±2(2<4)
∴M点轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线,且2a=2,2c=4
∴点M的轨迹E的方程为x2-
y2 |
3 |
(2)证明:A1(-1,0),A2(1,0),QA1:y=
y0 |
x0+1 |
y0 |
x0+1 |
QA2:y=
y0 |
x0-1 |
-y0 |
x0-1 |
∴DE中点(0,
-3 |
y0 |
∴以DE为直径的圆方程x2+(y+
-3 |
y0 |
3x0 |
y0 |
∴y=0时,x2=
9x02 |
y02 |
9 |
y02 |
∴以线段DE为直径的圆C过两个定点,定点为(±
3 |
点评:本题考查轨迹方程的求法,考查圆过定点,解题的关键是理解双曲线的定义,确定圆的方程.
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