题目内容
已知圆及点C2(2,0),在圆上任取一点P,连接C2P,做线段C2P的中垂线交直线P于点M.
(1)当点P在圆上运动时,求点M的轨迹E的方程;
(2)设轨迹E与x轴交于,A2两点,在轨迹E上任取一点Q(x0,y0)(y0≠0),直线Q,QA2分别交y轴于D,E两点,求证:以线段DE为直径的圆C过两个定点,并求出定点坐标.
(1)当点P在圆上运动时,求点M的轨迹E的方程;
(2)设轨迹E与x轴交于,A2两点,在轨迹E上任取一点Q(x0,y0)(y0≠0),直线Q,QA2分别交y轴于D,E两点,求证:以线段DE为直径的圆C过两个定点,并求出定点坐标.
(1)解:∵线段C2P的中垂线交直线P于点M,
∴|MC2|=|MP|,
又∵|MP|=|M|+2,
∴|M|﹣|MC2|=±2(2<4)
∴M点轨迹是以,C2为焦点的双曲线,且2a=2,2c=4
∴点M的轨迹E的方程为
(2)证明:(﹣1,0),A2(1,0),,
∴,
∴
∴
∴以DE为直径的圆方程
∴y=0时,
∴以线段DE为直径的圆C过两个定点,定点为
∴|MC2|=|MP|,
又∵|MP|=|M|+2,
∴|M|﹣|MC2|=±2(2<4)
∴M点轨迹是以,C2为焦点的双曲线,且2a=2,2c=4
∴点M的轨迹E的方程为
(2)证明:(﹣1,0),A2(1,0),,
∴,
∴
∴
∴以DE为直径的圆方程
∴y=0时,
∴以线段DE为直径的圆C过两个定点,定点为
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