题目内容
【题目】已知为椭圆
上的一个动点,弦
分别过左右焦点
,且当线段
的中点在
轴上时,
.
(1)求该椭圆的离心率;(2)设,试判断
是否为定值?若是定值,求出该定值,并给出证明;若不是定值,请说明理由.
【答案】(1)(2)
是定值6.
【解析】试题分析:(1)当线段的中点在y轴上时,AC垂直于x轴,
为直角三角形.运用余弦函数的定义可得
,易知
,再由椭圆的定义,结合离心率公式即可得到所求值;
(2)由(1)得椭圆方程为,焦点坐标为
,当AB,AC的斜率都存在时,设
,求得直线AC的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理,再由向量共线定理,可得
为定值6;若
轴,若
轴,计算即可得到所求定值.
试题解析:
解:(1)当线段的中点在
轴上时,
垂直于
轴,
为直角三角形,
因为,所以
,
易知,
由椭圆的定义可得,
则,即
;即
,即有
;
(2)由(1)得椭圆方程为,焦点坐标为
,
①当的斜率都存在时,设
,
则直线的方程为
,代入椭圆方程得:
,
可得,又
,
同理,可得
;
(2)若轴,则
,
,这时
;
若轴,则
,这时也有
;
综上所述, 是定值6.
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x | ﹣ | ||||||
y | ﹣1 | 1 | 3 | 1 | ﹣1 | 1 | 3 |
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式;
(2)根据(1)的结果:
( i)当x∈[0, ]时,方程f(3x)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围;
( ii)若α,β是锐角三角形的两个内角,试比较f(sinα)与f(cosβ)的大小.