题目内容

如图，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直， $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（Ⅰ）设AC的中点为D，证明A₁D⊥底面ABC；
（Ⅱ）求异面直线A₁C与AB成角的余弦值．

（Ⅰ）证明：∵AC=2 $\text{[math]}$ ，AA₁=A₁C= $\text{[math]}$ ，∴AC²=AA₁²+A₁C²，
∴△AA₁C是等腰直角三角形，
又D是斜边AC的中点，∴A₁D⊥AC，
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∴A₁D⊥底面ABC；
（Ⅱ）∵BC=2，AC=2 $\text{[math]}$ ，AB=2 $\text{[math]}$ ，AC²=AB²+BC²，
∴三角形ABC是直角三角形，过B作AC的垂线BE，垂足为E，
则BE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，EC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DE=CD-EC= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
以D为原点，A₁D所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，平行于BE的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则A（0，- $\text{[math]}$ ，0），A₁（0，0， $\text{[math]}$ ），B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，0），C（0， $\text{[math]}$ ，0），
$\text{[math]}$ =（0， $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，0），
所以cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故所求余弦值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）利用平面A₁ACC₁⊥平面ABC，可证A₁D⊥底面ABC；
（Ⅱ）过B作AC的垂线BE，垂足为E，以D为原点，A₁D所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，平行于BE的直线为x轴，建立空间直角坐标系，通过计算求出向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标，利用向量的夹角公式即可求得．
点评：本题考查空间中直线与平面所成的角、异面直线所成的角，考查空间向量在立体几何中的应用，考查学生的计算能力．