Question

（本小题8分）已知圆C: 及直

（1）证明：不论m取何值，直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l被圆C截得的弦长最短时的直线方程．

Answer 1

 （1）见解析；（2）y=x-1。

本题考查直线与圆相交的证明，考查直线被圆截得的线段的最短长度以及此时直线的方程．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
解：由得
∴圆C的圆心为(2,3),半径为2……………2分
（1）由得
由得
∴不论m取何值，直线l恒过点P(3,2)…………….4分
∵
∴点P(3,2)在圆C内……………3分
所以不论m取何值，直线l与圆C恒相交…………….5分
（2）当直线l垂直CP时，直线l被圆C截得的弦长最短
∵…………….7分
所以所求的直线方程为y=x-1…………….8分