Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，点E是棱PB的中点．求证：AE⊥平面PBC．

Answer 1

分析 由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB．又PA=AB，从而AE⊥PB．由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，由此能证明AE⊥平面PBC．

解答 证明：如图，由PA⊥底面ABCD，
得PA⊥AB．又PA=AB，故△PAB为等腰直角三角形，
而点E是棱PB的中点，所以AE⊥PB．
由题意知BC⊥AB，又AB是PB在面ABCD内的射影，
由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，
故BC⊥AE．因为AE⊥PB，AE⊥BC，所以AE⊥平面PBC．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的证明，考查了空间想象能力和推理论证能力，解题时要认真审题，属于中档题．