题目内容
设椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,离心率为,在轴负半轴上有一点,且
(1)若过三点的圆恰好与直线相切,求椭圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,过右焦点作斜率为的直线与椭圆C交于两点,在轴上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出的取值范围;如果不存在,说明理由.
【答案】
1)由题意,得,所以
又 由于,所以为的中点,
所以
所以的外接圆圆心为,半径…………………3分
又过三点的圆与直线相切,
所以解得,
所求椭圆方程为 …………………………………………………… 6分
(2)有(1)知,设的方程为:
将直线方程与椭圆方程联立
,整理得
设交点为,因为
则……………………………………8分
若存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形,
由于菱形对角线垂直,所以
又
又的方向向量是,故,则
,即
由已知条件知………………………11分
,故存在满足题意的点且的取值范围是
【解析】略
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