题目内容
【题目】已知数列{an}满足(an+1﹣1)(an﹣1)=3(an﹣an+1),a1=2,令bn= .
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn3n}的前n项和Sn .
【答案】
(1)解:∵(an+1﹣1)(an﹣1)=3(an﹣an+1)=3[(an﹣1)﹣(an+1﹣1)],
∴ =
,即bn+1﹣bn=
.
∴数列{bn}是等差数列,首项为1,公差为 .
∴bn=1+ (n﹣1)=
(2)解: =(n+2)3n﹣1.
∴数列{bn3n}的前n项和Sn=3+4×3+5×32+…+(n+2)3n﹣1.
∴3Sn=3×3+4×32+…+(n+1)×3n﹣1+(n+2)3n,
∴﹣2Sn=3+3+32+…+3n﹣1﹣+(n+2)3n=2+ ﹣(n+2)3n=2+
,
∴Sn=
【解析】(1)由(an+1﹣1)(an﹣1)=3(an﹣an+1)=3[(an﹣1)﹣(an+1﹣1)],可得 =
,即bn+1﹣bn=
.利用等差数列的通项公式即可得出.(2)
=(n+2)3n﹣1 . 利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本,需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.

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