题目内容
17.设曲线f(x)=xnex在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)>ax+1对x∈(-∞,-1)恒成立,求实数a的取值范围.
分析 (1)求出函数的导数,求得切线的斜率,由条件可得方程,可得n=2,再令导数大于0,得增区间,令导数小于0,得减区间;
(2)由题意可得x2ex>ax+1对x∈(-∞,-1)恒成立,在x<-1时,y=x2ex的图象恒在直线y=ax+1的上方,画出它们的图象,求出x=-1时的交点,通过图象观察即可得到所求范围.
解答 解:(1)f(x)=xnex的导数为f′(x)=(nxn-1+xn)ex,
由题意可得f′(1)=(n+1)e=3e,
解得n=2,
即有f(x)=x2ex,
导数为f′(x)=(2x+x2)ex,
令f′(x)>0,解得x>0或x<-2,令f′(x)<0,解得-2<x<0,
即有f(x)的增区间为(-∞,-2),(0,+∞),减区间为(-2,0);
(2)f(x)>ax+1对x∈(-∞,-1)恒成立,
即为x2ex>ax+1对x∈(-∞,-1)恒成立,
即有在x<-1时,y=x2ex的图象恒在直线y=ax+1的上方,
画出y=x2ex的图象,直线y=ax+1恒过定点(0,1),
观察x<-1的图象,可得x=-1时,y=$\frac{1}{e}$,此时a=1-$\frac{1}{e}$,
当直线的斜率a≥1-$\frac{1}{e}$时,y=x2ex的图象恒在直线y=ax+1的上方,
故实数a的取值范围是[1-$\frac{1}{e}$,+∞).
点评 本题考查导数的运用:求切线斜率和单调区间,考查不等式恒成立问题,注意运用数形结合的思想方法,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D. | 1 |