题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,设椭圆
.
(1)过椭圆的左焦点,作垂直于
轴的直线交椭圆
于
、
两点,若
,求实数
的值;
(2)已知点,
、
是椭圆
上的动点,
,求
的取值范围;
(3)若直线与椭圆
交于
、
两点,求证:对任意大于3的实数
,以线段
为直径的圆恒过定点,并求该定点的坐标.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析,
.
【解析】
(1)由椭圆的方程可得左焦点坐标,再由的长可得纵坐标,即椭圆过
,代入椭圆的方程求出
的值;
(2)代入椭圆可得椭圆的标准形式,设
的坐标,
中的
用
向量表示,再由题意可得关于
的坐标的关系,由
的坐标的范围求出数量积
的取值范围;
(3)将直线与椭圆联立求出两根之和及两根之积,进而求出
的中点的坐标,及弦长
,求出以线段
为直径的圆的方程,整理出关于
的二次三项式恒为0,可得
的所有系数都为0,可得
,
的值,即圆恒过的定点坐标.
(1)由题意可得:,即左焦点为:
,若
,所以
,将
,
代入椭圆可得:
,又
解得:
;
(2)时,椭圆的方程为:
,设
,
,
,由题意可得:
,由
,
所以,
.
(3)联立直线与椭圆的方程可得:
,解得
,
,设
,
,所以
的中点为:
,
,
,
所以以线段为直径的圆的方程为:
,
整理可得:,
即,
整理可得:,
对于任意的,关于
的二次三项式
恒为0,
所以二次项,一次项和常数项的系数均为0,即,
所以,
,
即定点坐标为.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2016年1月6日北京时间上午11时30分,朝鲜中央电视台宣布“成功进行了氢弹试验”,再次震动世界,此事件也引起了我国公民热议,其中丹东市(丹东市和朝鲜隔江)某QQ聊天群有300名网友,乌鲁木齐市某微信群有200名网友,为了解不同地区我国公民对“氢弹试验”事件的关注程度,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名网友,先分别统计了他们在某时段发表的信息条数,再将两地网友发表的信息条数分成5组:,
,
,
,
,分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求丹东市网友的平均留言条数(保留整数);
(2)为了进一步开展调查,从样本中留言条数超过80条的网友中随机抽取2人,求至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率;
(3)规定“留言条数”不少于70条为“强烈关注”.
①请你根据已知条件完成下列2×2的列联表:
强烈关注 | 非强烈关注 | 合计 | |
丹东市 | |||
乌鲁木齐市 | |||
合计 |
②判断是否有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关?
附:临界值表及参考公式:
,
.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |