题目内容
【题目】已知数列
是首项
的等差数列，设
.
（1）求证：
是等比数列；
（2）记
，求数列
的前
项和
；
（3）在（2）的条件下，记
，若对任意正整数，不等式
恒成立，求整数
的最大值.
【答案】(1)证明见解析.
(2) 
.
(3)11.
【解析】分析：(1)运用等差数列的通项公式，可得公差
，进而得到
，再由对数的运算性质和等比数列的定义，即可得证；
(2) 利用裂项相消法求和即可；
(3)根据题意，求得
，设
，判断其为单调递增，求得最小值
，再由恒成立思想可得
的范围，进而得到最大值.
详解：（1）由
及
，得
，所以
.
因为
，所以
，即
.
则
，所以数列
是首项
，公比
的等比数列.
（2）由（1），得
，所以
（3）因为
，
则问题转化为对任意正整数
使不等式
恒成立.
设
，则
.
所以
，故
的最小值是/
.
由
，得整数可取最大值为11.
练习册系列答案
相关题目
【题目】为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：
，经统计，其高度均在区间
，
内，将其按，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为
及以上的树苗为优质树苗．
（1）求图中
的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于
，
两个试验区，部分数据如下列联表：
|
| 合计 | |
优质树苗 | 20 | ||
非优质树苗 | 60 | ||
合计 |
将列联表补充完整，并判断是否有
的把握认为优质树苗与，两个试验区有关系，并说明理由．
下面的临界值表仅供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：
，其中
．
