题目内容

（2011•上海模拟）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1=2Sn+2(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在an与an+1(n∈N*)之间插入n个1，构成如下的新数列：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，求这个数列的前2012项的和；
（3）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列（如：在a1与a2之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为d1；在a2与a3之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为d2，…以此类推），设第n个等差数列的和是An．是否存在一个关于n的多项式g（n），使得An=g（n）dn对任意n∈N*恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由．
分析：（1）设an=a1qn-1，由an+1=2Sn+2，建立方程组，求出a1和q，能够推导出an．
（2）利用题设条件知：到an为止，新的数列共有1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
项，令
n(n+1)
2
=2012，知：到a62为止，新的数列共有1953项，由此能求出该数列的前2012项的和．
（3）依题意，dn=
2×3n-2×3n-1
n+1
=
4×3n-1
n+1
，An=
(2×3n+2×3n-1)(n+2)
2
，要使An=g（n）dn，则4（n+2）×3n-1=g（n）×
4×3n-1
n+1
，由此能够推导出存在g（n）=n2+3n+2满足条件．
解答：解：（1）设an=a1qn-1，
由an+1=2Sn+2，知
a1q=2a1+2
a1q2=2(a1+a1q)+2
，
解得
a1=2
q=3
，
故an=2×3n-1…（6分）
（2）依题意，到an为止，新的数列共有1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
项，
令
n(n+1)
2
=2012，
得n=
-1+
1+4024×4
2
≈62.9，
即到a62为止，新的数列共有1+2+3+4+…+62=
62(62+1)
2
=1953项，
故该数列的前2012项的和为：
a1+a2+…+a62+1+2+3+…+61+（2012-1953）=
2×(1-362)
1-3
+1950=362+1949．
（3）依题意，dn=
2×3n-2×3n-1
n+1
=
4×3n-1
n+1
，
An=
(2×3n+2×3n-1)(n+2)
2

=4（n+2）×3n-1，
要使An=g（n）dn，
则4（n+2）×3n-1=g（n）×
4×3n-1
n+1
，
∴g（n）=（n+2）×（n+1）=n2+3n+2，
即存在g（n）=n2+3n+2满足条件．
点评：第（1）题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意合理地进行等价转化；第（2）题考查数列的前n项和的计算和等比数列的综合运用，解题时要注意等比数列和等差数列前n项和公式的合理运用；第（3）题考查多项式是否存在的探索，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答．
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