Question

设f(x)=a

x

-lnx（a＞0）
（1）若f（x）在[1，+∞）上递增，求a的取值范围；
（2）若f（x）在[2，4]上的存在单调递减区间，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）在[1，+∞）上递增，可得f′（x）≥0恒成立，从而转化为恒成立问题解决．
（2）f（x）在[2，4]上存在单调递减区间即为f′（x）＜0在x∈[2，4]上有解，从而可得a的范围．

解答：解：f′(x)=

a x -2

2x

，
（1）因为f（x）在[1，+∞）上递增，所以f′（x）≥0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，
即a≥

2

x

恒成立，又x∈[1，+∞）时，

2

x

≤2，∴a≥2．
故a的取值范围是[2，+∞）．
（2）若f（x）在[2，4]上存在单调递减区间，则f′（x）＜0在x∈[2，4]上有解，即a＜

2

x

有解，
而x∈[2，4]时，1≤

2

x

≤

2

，∴0＜a＜

2

．
故a的取值范围为（0，

2

）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，注意f′（x）≥0是可导函数f（x）单调递增的充要条件．