题目内容

已知函数f(x)=ax+
2
x
+6，其中a为实常数．
（1）若f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）已知a=
3
4
，P1，P2是函数f（x）图象上两点，若在点P1，P2处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；
（3）设定义在区间D上的函数y=s（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=t（x），当x≠x0时，若
s(x)-t(x)
x-x0
＞0在D上恒成立，则称点P为函数y=s（x）的“好点”．试问函数g（x）=x2f（x）是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．
分析：（1）方法一：讨论二次项系数是否为0，然后讨论开口方向结合利用二次函数的性质求出a的取值范围；
方法二：利用参变量分离法进行求解，将a分离出来，然后研究不等式另一侧函数的最大值即可求出a的取值范围；
（2）先利用导数分别求出切线的斜率，然后表示出两切线方程，最后利用两平行线的距离公式表示出这两条切线间距离，再利用基本不等式可求出最大值；
（3）设g（x）存在“好点”P（x0，y0），然后根据“好点”的定义建立关系式，讨论a的正负可求出“好点”坐标．
解答：解：（1）方法一：f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立，即为（a-3）x2+6x+2＞0在（1，+∞）上恒成立，
①a=3时，结论成立；
②a＞3时，
函数h（x）=（a-3）x2+6x+2图象的对称轴为x=-
6
2(a-3)
＜0，
所以函数h（x）=（a-3）x2+6x+2在（1，+∞）单调递增，
依题意h（1）＞0，即a＞-5，
所以a＞3；
③a＜3不合要求，
综上可得，实数a的取值范围是a≥3．
方法二：f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立等价于a＞-
2
x2
-
6
x
+3，
令h(x)=-
2
x2
-
6
x
+3=-2(
1
x
+
3
2
)2+
15
2

因为x＞1，所以0＜
1
x
＜1，故-5＜h（x）＜3
所以a≥3．
（2）f′(x)=
3
4
-
2
x2

设P1（x1，y1），P2（x2，y2），在点P1，P2处的两切线互相平行，
则
3
4
-
2
x
2
1
=
3
4
-
2
x
2
2
，所以x1=x2（舍去），或x1=-x2，
过点P1的切线l1：y-y1=f'（x1）（x-x1），即f'（x1）x-y+f（x1）-x1f'（x1）=0，
过点P2的切线l2：f'（x2）x-y+f（x2）-x2f'（x2）=0
两平行线间的距离是d=
|f(x1)-f(x2)-x1f′(x1)+x2f′(x2)|
1+[f′(x1)]2
=
2|(
3
4
x1+
2
x1
)-x1(
3
4
-
2
x
2
1
)|
1+(
3
4
-
2
x
2
1
)2
=
8
|x1|
25
16
-
3
x
2
1
+
4
x
4
1
=
8
25
16
x
2
1
+
4
x
2
1
-3
，
因为
25
16
x
2
1
+
4
x
2
1
≥2
25
16
x
2
1
•
4
x
2
1
=5，所以d≤
8
5-3
=4
2
，
即两平行切线间的最大距离是4
2
．
（3）g（x）=x2f（x）=ax3+6x2+2x，设g（x）存在“好点”P（x0，y0），
由g'（x）=3ax2+12x+2，得h（x）=g'（x0）（x-x0）+g（x0），
依题意
g(x)-h(x)
x-x0
＞0对任意x≠x0恒成立，
因为
g(x)-[g′(x0)(x-x0)+g(x0)]
x-x0
=
[g(x)-g(x0)]-g′(x0)(x-x0)
x-x0

=
[(ax3+6x2+2x)-(a
x
3
0
+6
x
2
0
+2x0)]-(3a
x
2
0
+12x0+2)(x-x0)
x-x0

=[a(x2+x0x+
x
2
0
)+6(x+x0)+2]-(3a
x
2
0
+12x0+2)
=ax2+(ax0+6)x-(2a
x
2
0
+6x0)，
所以ax2+(ax0+6)x-(2a
x
2
0
+6x0)＞0对任意x≠x0恒成立，
①若a≤0，ax2+(ax0+6)x-(2a
x
2
0
+6x0)＞0不可能对任意x≠x0恒成立，
即a≤0时，不存在“好点”；
②若a＞0，因为当x=x0时，ax2+(ax0+6)x-(2a
x
2
0
+6x0)=0，
要使ax2+(ax0+6)x-(2a
x
2
0
+6x0)＞0对任意x≠x0恒成立，
必须△=(ax0+6)2+4a(2a
x
2
0
+6x0)≤0(ax0+2)2≤0，所以x0=-
2
a
，
综上可得，当a≤0时，不存在“好点”；
当a＞0时，存在惟一“好点”为(-
2
a
，
16-4a
a2
)．
点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及函数的单调性与导数的关系的应用和恒成立问题，恒成立求参数常常利用参变量分离法进行求解，同时考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=a-
12x+1
．
（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．
已知函数f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）图象经过点Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直线坐标系中画出函数f（x）的大致图象；
（2）求函数f（t）-9的零点；
（3）设q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函数q（t）的单调递增区间．
已知函数f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）为奇函数，则a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3
已知函数f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；
（III）设g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）
已知函数f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定义域；
（2）若f（x）为奇函数，求a的值；
（3）考察f（x）在定义域上单调性的情况，并证明你的结论．

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