Question

根据下列条件,分别求出双曲线的标准方程.

(1)过点P(3,-),离心率e=;

(2)F₁、F₂是双曲线左、右焦点,P是双曲线上一点,且∠F₁PF₂=60°,=12,离心率为2.

Answer 1

双曲线方程为-=1.

解析:

(1)若焦点在x轴上,设双曲线方程为-=1,

由e=,有=,

又由a²+b²=c²,解①②得a²=1,b²=.

若焦点在y轴上,设双曲线方程为-=1,

同理有=,-=1,a²+b²=c².

解得b²=-(舍去).

∴所求双曲线方程为x²-4y²=1.

(2)设双曲线方程为-=1,

因e==2,

∴2a=c,由||PF₁|-|PF₂||=2a=c.

由余弦定理得(2c)²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂=(|PF₁|-|PF₂|)²+2|PF₁||PF₂|(1-cos60°),

∴4c²=c²+|PF₁|·|PF₂|.

又=|PF₁||PF₂|sin60°=12.

∴|PF₁||PF₂|=48.

∴3c²=48,得a²=4,b²=12.

∴所求双曲线方程为-=1.