题目内容
【题目】已知圆,点
,点
是圆
上的一个动点,点
分别在线段
上,且满足
,
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)过点作斜率为
的直线
与点
的轨迹相交于
两点,在
轴上是否存在点
,使得以
为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出
的取值范围;如果不存在,说明理由.
【答案】(1).(2)存在,取值范围是
【解析】
(1)由知
为线段
的中点, 由
知
, 故点
为线段
的垂直平分线上的一点,从而可得点
的轨迹是以
为焦点,长轴长为4的椭圆,由此可得其轨迹方程;
(2)点是椭圆的右焦点,设直线
.与椭圆方程联立消去
得一元二次方程,设
,则
,假设存在满足题意的点
,则由对角线垂直即
可把
表示为
的函数,结合不等式性质可得结论.
(1)由知
为线段
的中点, 由
知
, 故点
为线段
的垂直平分线上的一点,从而
,则有
,
∴点的轨迹是以
为焦点,长轴长为4的椭圆, ∵
∴
,∴点
的轨迹方程是
.
(2)由(1)知点是椭圆的右焦点,设直线
.
由,消去
并整理,得到
.
设,则
,从而
假设存在满足题意的点,则
,
∵菱形的对角线互相垂直, ∴,
即
又 ∴
即
由,且
,
,
故存在满足题意的点,且
的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为迎接2022年北京冬季奥运会,普及冬奥知识,某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生,将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组:,
得到如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)记表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生,该学生的比赛成绩不低于80分”,估计
的概率;
(Ⅲ)在抽取的100名学生中,规定:比赛成绩不低于80分为“优秀”,比赛成绩低于80分为“非优秀”.请在答题卡上将列联表补充完整,并判断是否有
的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”?
参考公式及数据:,
.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |