Question

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点K（-1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设

FA

•

FB

=

8

9

，求△BDK的内切圆M的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点K的直线L方程代入抛物线方程消去x，设L与C 的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据韦达定理求得y₁+y₂和y₁y₂的表达式，进而根据点A求得点D的坐标，进而表示出直线BD和BF的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而转化为4x₂=y2²，依题意可知等式成立进而推断出k₁=k₂原式得证．
（Ⅱ）首先表示出

FA

•

FB

结果为

8

9

求得m，进而求得y₂-y₁的值，推知BD的斜率，则BD方程可知，设M为（a，0），M到x=

4

3

y-1和到BD的距离相等，进而求得a和圆的半径，则圆的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）抛物线C：y²=4x①的焦点为F（1，0），
设过点K（-1，0）的直线L：x=my-1，
代入①，整理得
y²-4my+4=0，
设L与C 的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，
点A关于X轴的对称点D为（x₁，-y₁）．
BD的斜率k₁=

y1+y2

x2-x1

=

4

y2-y1

，
BF的斜率k₂=

y2

x2-1

．
要使点F在直线BD上
需k₁=k₂
需4（x₂-1）=y₂（y₂-y₁），
需4x₂=y2²，
上式成立，∴k₁=k₂，
∴点F在直线BD上．
（Ⅱ）

FA

•

FB

=（x₁-1，y₁）（x₂-1，y₂）=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（my₁-2）（my₂-2）+y₁y₂=4（m²+1）-8m²+4=8-4m²=

8

9

，
∴m²=

16

9

，m=±

4

3

．
y₂-y₁=

16m2-16

=4

m2-1

=

4 7

3

，
∴k₁=

3

7

，BD：y=

3

7

（x-1）．
易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x=

4

3

y-1和到BD的距离相等，即
|a+1|×

3

5

=|（

3

7

（a-1）|×

7

4

，
∴4|a+1|=5|a-1|，-1＜a＜1，
解得a=

1

9

．
∴半径r=

2

3

，
∴△BDK的内切圆M的方程为（x-

1

9

）²+y²=

4

9

．

点评：本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想．