Question

设x，y满足约束条件

x≥-3 y≥-4 -4x+3y≤12 4x+3y≤36

（1）求目标函数z=2x+3y的最小值与最大值．
（2）求目标函数z=-4x+3y-24的最小值与最大值．

Answer 1

（1）作出可行域（如图A阴影部分）．
令z=0，作直线l：2x+3y=0．
当把直线l向下平移时，所对应的z=2x+3y的值随之减小，所以，直线经过可行域的顶点B时，z=2x+3y取得最小值．
从图中可以看出，顶点B是直线x=-3与直线y=-4的交点，其坐标为（-3，-4）；
当把l向上平移时，所对应的z=2x+3y的值随之增大，所以直线经过可行域的顶点D时，z=2x+3y取得最大值．
顶点D是直线-4x+3y=12与直线4x+3y=36的交点，
解方程组

-4x+3y=12 4x+3y=36

，可以求得顶点D的坐标为（3，8）．
所以z_min=2×（-3）+3×（-4）=-18，z_max=2×3+4×8=38．
（2）可行域同（1）（如图B阴影部分）．
作直线l₀：-4x+3y=0，把直线l₀向下平移时，
所对应的z=-4x+3y的值随之减小，即z=-4x+3y-24的值随之减小，
从图B可以看出，直线经过可行域顶点C时，z=-4x+3y-24取得最小值．
顶点C是直线4x+3y=36与直线y=-4的交点，
解方程组

y=-4 4x+3y=36

得到顶点C的坐标（12，-4），
代入目标函数z=-4x+3y-24，得z_min=-4×12+3×（-4）-24=-84．
由于直线l₀平行于直线-4x+3y=12，
因此当把直线l₀向上平移到l₁时，l₁与可行域的交点不止一个，
而是线段AD上的所有点．此时z_max=12-24=-12．