Question

【题目】数列，定义为数列的一阶差分数列，其中，（ ），设

（1）若，求证： 是等比数列，并求出的通项公式；

（2）若，又数列满足： ：

①求数列的前和；

②求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列中其他两项之积.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析：

（1）由，得故，进而，可得数列为等比数列，即可求解数列的通项公式；

（2）①由（1）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和.

②证明：由（1）得，对于给定的，若存在， ，且， ，

得出取，则，使得，得以证明.

试题解析：

（1）因为.

故，即，所以

故数列为等比数列，且，所以

（2）

，故数列是以为首项， 为公差的等差数列，

易求出

① ，

以上两式相减得：

所以

②证明：由且，知，

对于给定的，若存在， ，且， ，

只需，只需

取，则

所以对于数列中的任意一项，

都存在与，使得，

即数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.