Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，且经过点D（1，

3

2

）．A，B分别是椭圆C的左右顶点，M为椭圆上一点，直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求

AP

•

BQ

的值
（3）求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆C的离心率求得b²=

3

4

a² ①，再由椭圆经过点P（1，

3

2

），可得

1

a2

+

9

4b2

=1 ②，由①②解得 a²=4，b²=3，从而求得椭圆C的方程．
（2）由题意可得 A（-2，0），B（2，0），设M（2cosθ，

3

sinθ），设p（4，y₁），Q（4，y₂），由 K_AM=K_AP，求出y₁，由 K_BM=K_BQ，求出y₂，从而得到

AP

=（6，3

3

sinθ

cosθ+1

），

BQ

=（2，

3 sinθ

cosθ-1

），即可由数量积公式计算

AP

•

BQ

 的值．
（3）由（2）可得|y_p|•|y_q|=9，故|PQ|=|y_p-y_q |=|y_p|+|y_q|，利用基本不等式求出它的最小值．

解答：解：（1）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，
∴

c

a

=

a2- b 2

a

=

1

2

，∴b²=

3

4

 a²  ①．
再由椭圆经过点D（1，

3

2

），可得

1

a2

+

9 4

b2

=1，即

1

a2

+

9

4b2

=1 ②．
由①②解得 a²=4，b²=3，故椭圆C的方程

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由题意可得 A（-2，0），B（2，0），∵M为椭圆上一点，可设M（2cosθ，

3

sinθ）．
∵直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q，椭圆右准线L方程为 x=4，故可设p（4，y₁），Q（4，y₂）．
由题意可得 A、M、P三点共线，可得 K_AM=K_AP，∴

3 sinθ-0

2cosθ+2

=

y1

4+2

，∴y₁=3

3

sinθ

cosθ+1

．
 再由M、B、P 三点共线，可得 K_BM=K_BQ，∴

3 sinθ-0

2cosθ-2

=

y2

4-2

，∴y₂=

3 sinθ

cosθ-1

．
∴

AP

=（6，3

3

sinθ

cosθ+1

），

BQ

=（2，

3 sinθ

cosθ-1

）．
∴

AP

•

BQ

=（6，3

3

sinθ

cosθ+1

）•（2，

3 sinθ

cosθ-1

）=12+3

3

sinθ

cosθ+1

•

3 sinθ

cosθ-1

=12+9

sin2θ

cos2θ-1

=12-9=3，
即

AP

•

BQ

=3．
（3）由（2）|y_p|•|y_q|=9，∴|PQ|=|y_p-y_q |=|y_p|+|y_q|≥2

|yp|•|yq

|=6，当且仅当|y_p|=|y_q|时等号成立，
故|PQ|的最小值为6．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用、基本不等式的应用，属于中档题．