Question

16．三个人独立地翻译密码，每人译出此密码的概率依次为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，则恰有两人译出密码的概率为$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 根据题意，记“第i个人破译出密码”为事件A₁（i=1，2，3），分析可得三个事件的概率且三个事件相互独立；
设“恰好二人破译出密码”为事件B，则B包括彼此互斥的A₁•A₂•$\overline{{A}_{3}}$+A₁•$\overline{{A}_{2}}$•A₃+•$\overline{{A}_{1}}$A₂•A₃，由互斥事件的概率公式与独立事件的乘法公式计算可得答案．

解答 解：记“第i个人破译出密码”为事件A_i（i=1，2，3），
依题意有P（A₁）=$\frac{1}{2}$，P（A₂）=$\frac{1}{3}$，P（A₃）=$\frac{3}{4}$，
且A₁，A₂，A₃相互独立．
设“恰好二人破译出密码”为事件B，则B=A₁•A₂•$\overline{{A}_{3}}$+A₁•$\overline{{A}_{2}}$•A₃+•$\overline{{A}_{1}}$A₂•A₃，
∴P（B）=P（A₁•A₂•$\overline{{A}_{3}}$）+P（A₁•$\overline{{A}_{2}}$•A₃）+P（$\overline{{A}_{1}}$•A₂•A₃）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×（1-\frac{3}{4}）$+$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）×$\frac{3}{4}$+（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{5}{12}$，
故答案为：$\frac{5}{12}$．

点评 本题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力，难点在于对于恰有二人破译出密码的事件分类不清．