题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
3
，椭圆上的点到右焦点F的最近距离为2，若椭圆C与x轴交于A、B两点，M是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线MA交直线l：x=9于G点，直线MB交直线l于H点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试探求
FG
•
FH
是否为定值？若是，求出此定值，若不是说明理由．
分析：（1）根据椭圆的离心率为
1
3
，椭圆上的点到右焦点F的最近距离为2，确定几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）设M，A，B的坐标，求出G、H的坐标，利用M在椭圆上及向量的数量积公式，化简即可得到结论．
解答：解：（1）由题意得
c
a
=
1
3
a-c=2
，∴
c=1
a=3
…（2分）
∴b2=a2-c2=8
∴椭圆C的方程为：
x2
9
+
y2
8
=1．…（4分）
（2）设M，A，B的坐标分别为M（x0，y0）、A（-3，0）、B（3，0），
则直线MA的方程为：y=
y0
x0+3
(x+3)…（6分）
令x=9得G(9，
12y0
x0+3
)，同理得H(9，
6y0
x0-3
)．…（8分）
∵M在椭圆上，∴
x02
9
+
y02
8
=1，∴
y
2
0
=8(1-
x
2
0
9
)．…（10分）
∴
FG
•
FH
=(8，
6y0
x0-3
)•(8，
12y0
x0+3
)=64+
72y02
x02-9
=64+
72•8(1-
x
2
0
9
)
x02-9
=0．
∴
FG
•
FH
为定值0．…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确求向量的数量积是关键．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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