Question

如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．

Answer 1

（1）见解析（2）

(1)由AB是圆的直径，得AC⊥BC，
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
因为BC?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.
如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB、CA、CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

在Rt△ABC中，因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.
因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．故＝(，0,0)，＝(0,1,1)．
设平面BCP的法向量为n₁＝(x₁，y₁，z₁)，则所以
不妨令y₁＝1，则n₁＝(0,1，－1)．因为＝(0,0,1)，＝(，－1,0)，
设平面ABP的法向量为n₂＝(x₂，y₂，z₂)，则所以 
不妨令x₂＝1，则n₂＝(1，，0)．于是cos〈n₁，n₂〉＝＝.
由题图可判断二面角为锐角，所以二面角C－PB－A的余弦值为.