Question

12．一个四棱椎的三视图如图所示
（1）请画出此四棱锥的直观图，并求证：PC⊥BD；
（2）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30°？若存在，求 $\frac{|DQ|}{|DP|}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）判断三视图的直观图的形状，连接AC、BD交于点O，连接PO．证明PO⊥BD，BD⊥AC，证明BD⊥平面PAC，推出BD⊥PC．
（2）假设存在这样的点Q，说明∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角，在△POD中，求出∠PDO=60°，
在△DQO中推出DP⊥OQ．然后求解$\frac{|DQ|}{|DP|}$．

解答 解：（1）由三视图可知P-ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA=PB=PC=PD，

连接AC、BD交于点O，连接PO．PD=PB，OB=OD⇒PO⊥BD （…2分）
因为BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，即BD⊥PC． …（6分）
（2）由三视图可知，BC=2，PA=2$\sqrt{2}$，假设存在这样的点Q，
因为AC⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角，…（8分）
在△POD中，PD=2$\sqrt{2}$，OD=$\sqrt{2}$，则∠PDO=60°，
在△DQO中，∠PDO=60°，且∠QOD=30°．所以DP⊥OQ．
所以OD=$\sqrt{2}$，QD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$． 所以$\frac{DQ}{DP}=\frac{1}{4}$…（12分）

点评 本题考查二面角的平面角的求解与应用，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．