题目内容
15．
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F（c，0），P（x0，y0）为椭圆上一点，且PA⊥PF．（1）若a=3，b=$\sqrt{5}$，求x0的值；
（2）若x0=0，求椭圆的离心率；
（3）试判断该椭圆的右准线与以F为圆心，FP为半径的圆的位置关系，并说明理由．
分析 （1）由a，b，c的关系，可得c=2，再由垂直的条件：斜率之积为-1，结合椭圆方程，可得所求；
（2）运用垂直的条件，以及椭圆方程可得b2=ac=a2-c2，再由离心率公式，计算即可得到所求；
（3）由P在以AF为直径的圆上，结合椭圆方程，解得P的横坐标，再由椭圆的第二定义，结合直线和圆的位置关系，即可判断．
解答 解：（1）由a=3，b=$\sqrt{5}$，可得c=$\sqrt{9-5}$=2，
PA⊥PF，可得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=-1，即为y02=-x02-x0+6，
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{5}$=1，解得x0=$\frac{3}{4}$或-3（舍去）；
（2）x0=0，即有y02=b2，
PA⊥PF，可得$\frac{{y}_{0}}{a}$•$\frac{{y}_{0}}{-c}$=-1，即有y02=ac，
即为b2=ac=a2-c2，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e2+e-1=0，
解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（负的舍去）；
（3）PA⊥PF，可得P在以AF为直径的圆上，
即有圆的方程为（x+a）（x-c）+y2=0，
即有y02=（x0+a）（c-x0），
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
解方程可得，x0=-$\frac{a（{a}^{2}-{c}^{2}-ac）}{{c}^{2}}$或-a（舍去），
由椭圆的第二定义可得，|PF|=（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x0）•$\frac{c}{a}$
=a+$\frac{c}{a}$•$\frac{a（{a}^{2}-{c}^{2}-ac）}{{c}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，
而F到右准线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$的距离为$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，
故该椭圆的右准线与以F为圆心，FP为半径的圆相切．
点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和圆的位置关系的判断，考查运算能力，属于中档题．
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
| 树干周长（单位：cm） | [30，40） | [40，50） | [50，60） | [60，70） |
| 杉树 | 6 | 19 | 21 | x |
| 槐树 | 4 | 20 | y | 6 |
（2）树干周长在30cm到40cm之间的4株槐树有1株患虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止，求排查的树木恰好为2株的概率．
| A． | [0，π） | B． | [0，$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{3}{4}$π，π） | C． | [0，$\frac{π}{4}$] | D． | [0，$\frac{π}{4}$]∪（$\frac{π}{2}$，π） |
| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |
| A． | （0，$\frac{5}{12}$） | B． | [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$） | C． | （$\frac{5}{12}$，+∞） | D． | （$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$] |