题目内容

已知向量
a
=（sinx，cosx），
b
=（cosx，sinx-2cosx），0＜x＜
π
2
．
（Ⅰ）若
a
∥
b
，求x；
（Ⅱ）设f（x）=
a
•
b
，
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）函数f（x）经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？
分析：（I）利用向量共线定理及其倍角公式，三角函数的单调性即可得出；
（II）利用数量积、两角和差的正弦公式、单调性、图象的变换即可得出．
解答：解：（I）∵
a
∥
b
，∴sinx（sinx-2cosx）-cos2x=0，sin2x-2sinxcosx-cos2x=0，
∴-cos2x-sin2x=0，∴tan2x=-1．
又∵0＜x＜
π
2
，∴0＜2x＜π，∴2x=
3π
4
，
∴x=
3π
8
．
（II）f（x）=
a
•
b
=sinxcosx+cosx（sinx-2cosx）=sin2x-2cos2x
=sin2x-cos2x-1=
2
sin(2x-
π
4
)-1，
（1）令-
π
2
+2kπ≤2x-
π
2
≤
π
2
+2kπ，k∈Z，解得，-
π
8
+kπ≤x≤
3π
8
+kπ，
又0＜x＜
π
2
，∴0＜x≤
3π
8
，即（0，
3π
8
是f（x）的单调增区间．
（2）将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移
π
8
个单位，即得函数g（x）=
2
sin2x的图象，而g（x）为奇函数．
点评：熟练掌握向量共线定理及其倍角公式，三角函数的单调性、数量积、两角和差的正弦公式、单调性、图象的变换是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（sinθ，-2），
b
=（cosθ，1）
（1）若
a
∥
b
，求tanθ；
（2）当θ∈[-
π
12
，
π
3
]时，求f（θ）=
a
•
b
-2|
a
+
b
|2的最值．
已知向量
a
=（sinθ，1），
b
=（1，-cosθ），θ∈（0，π）
（Ⅰ）若
a
⊥
b
，求θ；
（Ⅱ）若
a
•
b
=
1
5
，求tan(2θ+
π
4
)的值．
已知向量
a
=（sinθ，cosθ），
b
=（2，1），满足
a
∥
b
，其中θ∈(0，
π
2
)
（I）求tanθ值；
（Ⅱ）求
2
sin(θ+
π
4
)(sinθ+2cosθ)
cos2θ
的值．
已知向量
a
=（sinθ，cosθ）与
b
=（
3
，1），其中θ∈（0，
π
2
）
（1）若
a
∥
b
，求sinθ和cosθ的值；
（2）若f（θ）=(
a
+ 
b
)2，求f（θ）的值域．
已知向量
a
=（sinθ，
3
cosθ），
b
=（1，1）．
（1）若
a
∥
b
，求tanθ的值；
（2）若|
a
|=|
b
|，且0＜θ＜π，求角θ的大小．

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